Dénombrement et Probabilités

personselena

يناير 25, 2025

Cours, Résumés et Exercices de Mathématiques 2ème Bac - Sciences Physiques et SVT (Option Internationale - Filière Française)

Dénombrement et Probabilités

Résumé du cours :

1. Dénombrement :

Le dénombrement est une technique utilisée pour compter les éléments d’un ensemble fini sans les énumérer un par un.

Principes fondamentaux du dénombrement :

Règle de multiplication :
Si une expérience se compose de plusieurs étapes successives, et que chaque étape peut être réalisée de plusieurs façons indépendantes, alors le nombre total de réalisations est le produit des possibilités de chaque étape.

N = n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_k

Règle d’addition :
Si une tâche peut être accomplie de différentes façons mutuellement exclusives, alors le nombre total de façons de réaliser cette tâche est la somme des possibilités.

N = n_1 + n_2 + \ldots + n_k

Permutations :

Une permutation est un arrangement ordonné d’éléments.

Sans répétition :

P(n) = n!

Avec répétition :

P(n; k_1, k_2, \ldots, k_m) = \frac{n!}{k_1! k_2! \ldots k_m!}

Combinaisons :

Une combinaison est un choix d’éléments sans tenir compte de l’ordre.

C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}

2. Probabilités :

La probabilité mesure la chance qu’un événement se produise. Elle est définie comme suit :

P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre total de cas possibles}}

Propriétés des probabilités :

$0 \leq P(A) \leq 1$
$P(\text{événement certain}) = 1$
$P(\text{événement impossible}) = 0$

Union et intersection d’événements :

Union ( $A \cup B$ ) :

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Intersection ( $A \cap B$ ) :
Si $A$ et $B$ sont indépendants :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

3. Variables aléatoires et espérance mathématique :

Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.

Espérance mathématique :
Pour une variable aléatoire discrète $X$ :

E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

Variance :

\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Exercices d’application :

Exercice 1 :
Un dé est lancé deux fois. Combien de résultats différents peut-on obtenir si :

L’ordre est important ?
L’ordre n’est pas important ?

Exercice 2 :
Dans une urne contenant 5 boules rouges et 3 boules bleues, on tire 2 boules simultanément. Quelle est la probabilité d’obtenir :

Deux boules rouges ?
Une rouge et une bleue ?

Exercice 3 :
On lance une pièce 3 fois. Calculez la probabilité d’obtenir exactement 2 fois « pile ».

Applications pratiques :

Le dénombrement est utilisé dans des domaines tels que la cryptographie et la logistique.
Les probabilités sont essentielles pour comprendre les risques dans les sciences, l’économie, et la prise de décision.

Conseils pour réussir :

Travaillez avec des exemples concrets pour bien assimiler les concepts.
Simplifiez les calculs en utilisant les formules de manière efficace.
Faites des schémas ou des arbres de probabilités pour visualiser les événements complexes.

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