Dérivation et étude des fonctions

 

Dérivation et étude des fonctions

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ملخص الدرس :

1. Définition de la dérivée d'une fonction :

La dérivée d'une fonction $f(x)$ en un point $x = a$ mesure le taux de variation instantané de la fonction en ce point.

• Notation : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• Si la limite existe, on dit que $f$ est dérivable en $a$.

2. Dérivée des fonctions usuelles :

• $(c)' = 0$, où $c$ est une constante.
• $(x^n)' = nx^{n-1}$, avec $n \in \mathbb{R}$.
• $(\sin(x))' = \cos(x)$.
• $(\cos(x))' = -\sin(x)$.
• $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$, pour $x > 0$.
• $(\exp(x))' = \exp(x)$.

3. Règles de dérivation :

• Somme : $(f + g)' = f' + g'$.
• Produit : $(f \cdot g)' = f'g + fg'$.
• Quotient : $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$, avec $g(x) \neq 0$.
• Composition : $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

4. Étude de variation des fonctions :

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ :

• Calculez $f'(x)$.
• Trouvez les points critiques où $f'(x) = 0$ ou $f'(x)$ n'existe pas.
• Déterminez le signe de $f'(x)$ pour savoir si $f(x)$ est croissante ($f'(x) > 0$) ou décroissante ($f'(x) < 0$).

5. Tangente à une courbe :

L'équation de la tangente à la courbe $y = f(x)$ en un point $(a, f(a))$ est donnée par :
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

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تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :

Calculez la dérivée des fonctions suivantes :

• $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$.
• $g(x) = \frac{2x + 1}{x^2}$.
• $h(x) = \ln(x^2 + 1)$.

تمرين 2 :

Étudiez les variations de la fonction suivante :
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

تمرين 3 :

Trouvez l'équation de la tangente à la courbe $y = \sin(x)$ au point $x = \frac{\pi}{4}$.

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نصائح للدراسة :

• راجع القواعد الأساسية لحساب المشتقات واحرص على فهم كيفية تطبيقها.
• قم بحل تمارين متنوعة للتعود على جميع أنواع الدوال (خطية، مثلثية، لوغاريتمية).
• ارسم المنحنيات لفهم أفضل لدور المشتقة في تحديد الاتجاهات (التزايد أو التناقص).

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هذا الدرس يعتبر من الأساسيات التي تساعدك على تحليل وفهم سلوك الدوال الرياضية بدقة.