Développement, Factorisation et Identités Remarquables

 Développement, Factorisation et Identités Remarquables

Ces notions constituent un pilier fondamental en mathématiques pour les élèves de troisième année collège, en particulier dans le cadre de l'enseignement international en langue française. Elles permettent de manipuler les expressions algébriques et de résoudre divers types de problèmes mathématiques.

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1. Développement

Le développement consiste à transformer un produit en une somme ou une différence. On utilise principalement la propriété distributive :
$a(b + c) = ab + ac$
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple :

Développer $(x + 2)(x - 3)$ :

$$(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$

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2. Factorisation

La factorisation est l'opération inverse du développement. Elle consiste à transformer une somme ou une différence en un produit.
On utilise les techniques suivantes :

• Mise en facteur commune :
  $ab + ac = a(b + c)$

• Identités remarquables :
  Utilisation des formules spécifiques (détaillées ci-dessous).

Exemple :

Factoriser $x^2 - 3x$ :

$$x^2 - 3x = x(x - 3)$$

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3. Identités Remarquables

Les identités remarquables sont des formules qui permettent de développer ou de factoriser rapidement des expressions algébriques.

Les trois identités principales :

1. Carré d'une somme :

   $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

   Exemple :
   $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

2. Carré d'une différence :

   $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

   Exemple :
   $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$

3. Produit d'une somme et d'une différence :

   $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

   Exemple :
   $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$

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Applications des identités remarquables

1. Développement rapide :
   Grâce aux identités remarquables, il est possible de développer rapidement des expressions sans effectuer chaque étape.
   Exemple :

   $$(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$$

2. Factorisation directe :
   Lorsqu'une expression correspond à une forme connue, on peut directement la factoriser.
   Exemple :

   $$x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$$

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Exercices pratiques

1. Développer $(2x + 3)(x - 5)$.
2. Factoriser $x^2 + 6x + 9$.
3. Simplifier $(a - b)^2 - (a + b)(a - b)$.

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Conseils pour réussir :

• Mémoriser les identités remarquables pour gagner du temps.
• S’entraîner régulièrement à développer et factoriser pour maîtriser les techniques.
• Vérifier les résultats en effectuant l’opération inverse (développement après factorisation, et vice-versa).

Ces outils sont indispensables pour résoudre des équations, simplifier des expressions, et se préparer à des concepts plus avancés en mathématiques.