Équations différentielles

 

Cours, Résumés et Exercices de Mathématiques 2ème Bac - Sciences Physiques et SVT (Option Internationale - Filière Française)

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Équations différentielles

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Résumé du cours :

1. Définition d’une équation différentielle :

Une équation différentielle est une relation mathématique entre une fonction $y(x)$ et ses dérivées. Elle s’écrit généralement sous la forme :

$$F(x, y, y', y'', \dots) = 0$$

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2. Types d’équations différentielles :

• Équation différentielle d’ordre 1 : Elle implique la fonction $y(x)$ et sa première dérivée $y'(x)$.
  Exemple :

$$y'(x) + y(x) = e^x$$

• Équation différentielle d’ordre 2 : Elle implique $y(x)$, $y'(x)$ et $y''(x)$.
  Exemple :

$$y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 0$$

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3. Résolution des équations différentielles d’ordre 1 :

• Équations différentielles linéaires :
  Une équation de la forme :

$$y'(x) + a(x)y(x) = b(x)$$

se résout en utilisant le facteur intégrant $e^{\int a(x) dx}$.

• Équations différentielles séparables :
  Une équation de la forme :

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

se résout en séparant les variables $x$ et $y$.

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4. Résolution des équations différentielles d’ordre 2 :

• Équations différentielles homogènes :
  Une équation de la forme :

$$y''(x) + ay'(x) + by(x) = 0$$

admet une solution générale basée sur les racines de l’équation caractéristique :

$$r^2 + ar + b = 0$$

• Équations différentielles non homogènes :
  Elles s’écrivent sous la forme :

$$y''(x) + ay'(x) + by(x) = f(x)$$

La solution générale est donnée par :

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$

où $y_h(x)$ est la solution de l’équation homogène associée, et $y_p(x)$ est une solution particulière.

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Exercices d’application :

Exercice 1 :
Résolvez l’équation différentielle :

$$y'(x) - 2y(x) = e^{3x}$$

Exercice 2 :
Trouvez la solution générale de l’équation différentielle :

$$y''(x) - 4y'(x) + 4y(x) = 0$$

Exercice 3 :
Résolvez l’équation différentielle séparée :

$$\frac{dy}{dx} = x \cdot y$$

Exercice 4 :
Une équation différentielle est donnée par :

$$y''(x) + y'(x) - 6y(x) = \sin(x)$$

Trouvez sa solution générale.

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Conseils pour bien étudier :

• Comprenez les différentes méthodes de résolution avant de les appliquer.
• Travaillez avec des exercices variés pour maîtriser les techniques.
• Vérifiez toujours vos solutions en les substituant dans l’équation d’origine.

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Les équations différentielles jouent un rôle clé en physique, ingénierie et économie. Leur maîtrise vous ouvre les portes des sciences appliquées. Bon courage !