Étude des fonctions numériques 1ère Bac Sciences Expérimentales.

 

Étude des fonctions numériques

L’étude des fonctions numériques est une étape clé pour comprendre leur comportement. Cela inclut la détermination de leur domaine, leurs variations, leurs limites, et leurs représentations graphiques. Voici un guide adapté au niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales.

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1. Définition et domaine de définition

Définition d’une fonction

Une fonction $f$ associe à chaque élément $x$ d’un ensemble $D$ (le domaine de définition) un unique élément $f(x)$.

Domaine de définition ($D_f$)

C’est l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie.

• Pour une fonction polynomiale ($f(x) = x^2 - 3x + 2$) : $D_f = \mathbb{R}$.
• Pour une fraction rationnelle ($f(x) = \frac{1}{x - 1}$) : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
• Pour une fonction avec un radical ($f(x) = \sqrt{x - 2}$) : $D_f = [2, +\infty[$.

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2. Parité et périodicité

Fonction paire

Une fonction $f(x)$ est paire si :

$$f(-x) = f(x), \quad \forall x \in D_f.$$

Exemple : $f(x) = x^2$.

Fonction impaire

Une fonction $f(x)$ est impaire si :

$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in D_f.$$

Exemple : $f(x) = x^3$.

Périodicité

Une fonction $f(x)$ est périodique si :

$$f(x + T) = f(x), \quad \forall x \in D_f,$$

où $T > 0$ est la période.
Exemple : $f(x) = \sin(x)$ est périodique de période $2\pi$.

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3. Limites et asymptotes

Limites aux bornes du domaine

Les limites permettent d'étudier le comportement de la fonction lorsque $x$ tend vers une valeur donnée ou vers l’infini.

Exemple : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$.

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty.$$

Asymptotes

1. Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, alors $y = L$ est une asymptote horizontale.
2. Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors $x = a$ est une asymptote verticale.
3. Asymptote oblique : Si $\lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - (ax + b)\big) = 0$, alors $y = ax + b$ est une asymptote oblique.

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4. Dérivée et variations

Calcul de la dérivée

La dérivée $f'(x)$ permet de déterminer les variations de $f(x)$.

Signes de la dérivée

• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f(x)$ est croissante.
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f(x)$ est décroissante.

Tableau de variations

Le tableau de variations résume le comportement de la fonction sur son domaine.

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5. Étapes d’étude d’une fonction

1. Déterminer le domaine de définition ($D_f$).
2. Étudier la parité ou la périodicité si nécessaire.
3. Calculer les limites aux bornes du domaine et identifier les asymptotes.
4. Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe pour déterminer les variations.
5. Étudier les points particuliers (maximum, minimum, etc.).
6. Construire le tableau de variations.
7. Tracer la courbe représentative en tenant compte des résultats obtenus.

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6. Exemples pratiques

Exemple 1 : Étude de $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$

1. Domaine : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
2. Limites :
   • $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.
   • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = x + 2$ (asymptote oblique $y = x + 2$).
3. Dérivée : $$f'(x) = \frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 1)(1)}{(x - 2)^2}.$$
4. Tableau de variations : Analyse du signe de $f'(x)$.
5. Courbe : Tracer en respectant les asymptotes et les variations.

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7. Exercices d’application

1. Étudier la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$.
2. Déterminer les limites et asymptotes de $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
3. Étudier les variations de $f(x) = \ln(x) - x$.

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Ressources supplémentaires

Pour plus d’exercices et d’explications, utilisez vos manuels scolaires ou explorez des plateformes éducatives en ligne comme Taalim.ma. 😊

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