Fonctions exponentielles

 

Fonctions exponentielles

---

ملخص الدرس :

1. تعريف الدالة الأسية :

الدالة الأسية هي دالة على الشكل :

$$f(x) = a \cdot e^{bx} + c$$

حيث :

• $e$ هو العدد النيبيري، قيمته التقريبية $e \approx 2.718$.
• $a$ هو معامل التمدد أو الانضغاط.
• $b$ يتحكم في معدل النمو أو الانحسار.
• $c$ هو معامل الانزياح العمودي.

---

2. خصائص الدالة الأسية :

• مجموعة التعريف : $\mathbb{R}$ (الدالة معرفة على كامل الأعداد الحقيقية).
• النهاية عند اللانهاية :
  • إذا كان $b > 0$، فإن $f(x) \to +\infty$ عندما $x \to +\infty$ و$f(x) \to 0$ عندما $x \to -\infty$.
  • إذا كان $b < 0$، فإن $f(x) \to 0$ عندما $x \to +\infty$ و$f(x) \to +\infty$ عندما $x \to -\infty$.
• الدالة دائمًا موجبة : $e^x > 0$ لكل $x \in \mathbb{R}$.
• الدالة تزايدية أو تناقصية حسب إشارة $b$.

---

3. الاشتقاق :

الدالة الأسية لها خاصية مهمة عند الاشتقاق :

$$f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x$$

• إذا كانت $f(x) = e^{ax}$، فإن المشتقة هي : $$f'(x) = a \cdot e^{ax}$$

---

4. التمثيل البياني :

• المنحنى البياني للدالة الأسية دائمًا فوق محور $x$.
• يقترب المنحنى من محور $x$ دون لمسه عندما $x \to -\infty$.
• يمر المنحنى بالنقطة $(0, 1)$.

---

5. التطبيقات :

• الدالة الأسية تستخدم لوصف النمو الأسي (مثل النمو السكاني أو الفوائد المركبة).
• تُستخدم أيضًا لوصف الانحلال الأسي (مثل النشاط الإشعاعي أو التبريد).

---

تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :
احسب النهاية :

$$\lim_{x \to +\infty} e^{-2x} \quad \text{و} \quad \lim_{x \to -\infty} e^{3x}$$

تمرين 2 :
أوجد مشتقة الدوال التالية :

• $f(x) = 5e^{2x}$
• $g(x) = -3e^{-x} + 2$

تمرين 3 :
ارسم المنحنى البياني للدالة $f(x) = 2e^x - 1$ وحدد النقاط المهمة (مثل التقاطع مع المحاور).

تمرين 4 :
حل المعادلة التالية :

$$e^{2x} = 4$$

ثم حدد الجواب بدقة.

تمرين 5 :
اكتب التعبير العام للدالة الأسية التي تمثل النمو الأسي بمعدل نمو نسبته $5\%$ سنويًا، ووضح كيف يتغير النمو بمرور الوقت.

---

نصائح للدراسة :

• راجع جدول المشتقات والأساسيات المتعلقة بالنهايات.
• تدرب على تطبيق خصائص الدالة الأسية لحل المعادلات.
• استعن بالتمثيل البياني لفهم سلوك الدالة بشكل أفضل.

---

تحميل الملفات :

Cours	Resumes	Exercices	Controles	Videos
Cours 1	Resume 1	Exercice 1
Cours 2	Resume 2	Exercice 2
	Resume 3
	Resume 4
	Resume 5
	Resume 6

الدوال الأسية هي من أساسيات الرياضيات التي تساعد في فهم العديد من التطبيقات العلمية والاقتصادية. قم بالتمرن عليها جيدًا لتحقق أفضل النتائج!