Fonctions logarithmiques 

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ملخص الدرس :

1. Définition d'une fonction logarithmique :

La fonction logarithmique de base $e$ est définie comme la fonction réciproque de l'exponentielle. Elle est notée $\ln(x)$ et vérifie :

$$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(x)} = x, \quad \text{pour } x > 0$$

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2. Propriétés principales de $\ln(x)$ :

• Domaine de définition : La fonction $\ln(x)$ est définie pour $x > 0$.
• Strictement croissante : La fonction logarithmique est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
• Valeurs remarquables : $$\ln(1) = 0, \quad \ln(e) = 1$$
• Propriétés algébriques : $$\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$$ $$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$$ $$\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$$

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3. Dérivée et primitive de $\ln(x)$ :

• Dérivée : $$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}, \quad \text{pour } x > 0$$
• Primitive : $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$$

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4. Résolution d'équations logarithmiques :

Pour résoudre une équation impliquant $\ln(x)$, on utilise souvent les propriétés logarithmiques et la définition de la fonction exponentielle :

• Exemple : $\ln(x) = 2$ $$x = e^2$$

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تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :
Simplifiez les expressions suivantes :

• $\ln(5) + \ln(2)$
• $\ln(10) - \ln(2)$
• $\ln(3^4)$

تمرين 2 :
Calculez la dérivée des fonctions suivantes :

• $f(x) = \ln(2x)$
• $f(x) = x \ln(x)$
• $f(x) = \ln(x^2 + 1)$

تمرين 3 :
Trouvez la primitive des fonctions suivantes :

• $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
• $f(x) = \ln(x^2)$
• $f(x) = \ln(x) + 3x$

تمرين 4 :
Résolvez les équations suivantes :

• $\ln(x) = 3$
• $\ln(2x) = 1$
• $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln(6)$

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نصائح للدراسة :

• تأكد من حفظ الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية لأنها تسهّل الحل.
• حاول استخدام الرسوم البيانية لفهم كيفية تغير $\ln(x)$ بشكل أفضل.
• تدرب على حل مسائل متعلقة بالتكامل والاشتقاق لتحسين مهاراتك.

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