Généralités sur les fonctions

personselena

يناير 22, 2025

Voici un résumé des généralités sur les fonctions adapté au niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales

1. Définition d'une fonction

Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble $A$ (appelé ensemble de départ) un unique élément d'un ensemble $B$ (appelé ensemble d'arrivée).

Notation : $f : A \to B$ , où $x \mapsto f(x)$ .
$x$ : l'antécédent, $f(x)$ : l'image.

2. Représentation d'une fonction

Représentation algébrique : Une fonction est donnée par une formule mathématique (par exemple : $f(x) = 2x + 3$ ).
Représentation graphique : Le graphe d'une fonction est l'ensemble des points $(x, f(x))$ dans le plan cartésien.
Représentation en tableau : On associe des valeurs de $x$ à leurs images $f(x)$ .

3. Types de fonctions

Fonctions numériques : Le domaine et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des réels ( $\mathbb{R}$ ).
- Exemples :
  - Fonction linéaire : $f(x) = mx + b$ .
  - Fonction quadratique : $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
  - Fonction affine : $f(x) = mx + b$ .
Fonctions particulières :
- Fonction constante : $f(x) = c$ .
- Fonction identité : $f(x) = x$ .
- Fonction puissance : $f(x) = x^n$ .
- Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$ .
- Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$ (définie pour $x \neq 0$ ).

4. Domaine de définition (D(f))

Le domaine de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie.

Exemples :

$f(x) = \frac{1}{x}$ : $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
$f(x) = \sqrt{x}$ : $D(f) = [0, +\infty[$ .

5. Parité d'une fonction

Fonction paire : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D(f)$ .
- Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
- Exemple : $f(x) = x^2$ .
Fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D(f)$ .
- Symétrie par rapport à l'origine.
- Exemple : $f(x) = x^3$ .

6. Variations d'une fonction

Une fonction est croissante sur un intervalle si :
- $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$ .
Une fonction est décroissante sur un intervalle si :
- $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$ .

7. Étude graphique d'une fonction

Pour tracer le graphe d'une fonction :

Identifier le domaine de définition.
Calculer des points remarquables : $f(0)$ , $f(x)$ pour quelques $x$ .
Étudier la parité.
Étudier les variations (croissance, décroissance).

8. Exemples et exercices

Exemple 1 : Domaine de définition

Soit $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ .

$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

Exercice 1 :

Déterminer la parité des fonctions suivantes :

$f(x) = x^2 + 1$ .
$f(x) = x^3 - x$ .

Exercice 2 :

Tracer le graphe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Ressources supplémentaires

Pour approfondir, utilisez des manuels de mathématiques dédiés au programme de 1ère Bac Sciences Expérimentales et des plateformes éducatives comme Taalim.ma. Si besoin, je peux fournir les solutions des exercices ou d’autres explications ! 😊