Géométrie dans l’espace

Résumé : Géométrie dans l’espace

La géométrie dans l’espace traite des figures, des points, des droites et des plans dans un espace tridimensionnel. Elle s’intéresse aux relations géométriques entre ces éléments ainsi qu’aux propriétés métriques telles que les distances et les angles.

1. Les éléments fondamentaux

Point, droite et plan

Point : Représenté par des coordonnées $(x, y, z)$ dans un repère orthonormé.
Droite : Définie par une équation paramétrique ou cartésienne.
Plan : Représenté par une équation cartésienne de la forme : $ax + by + cz + d = 0.$

2. Repère de l’espace

Un repère orthonormé de l’espace est défini par :

Un point $O$ (origine).
Trois vecteurs unitaires $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ orthogonaux entre eux.
Tout point $M(x, y, z)$ est représenté par ses coordonnées dans ce repère.

3. Vecteurs dans l’espace

Opérations sur les vecteurs

Addition et soustraction : $\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2).$
Produit par un scalaire : $k \cdot \vec{u} = (k \cdot x, k \cdot y, k \cdot z).$
Norme d’un vecteur : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

Produit scalaire

\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2.

Propriétés :

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Permet de calculer l’angle $\theta$ entre deux vecteurs : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}.$

Produit vectoriel

\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}.

Propriétés :

$\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
Permet de calculer l’aire d’un parallélogramme.

4. Droites dans l’espace

Équation paramétrique d’une droite

Une droite $D$ est définie par :

\begin{cases} x = x_0 + t \cdot u_x, \\ y = y_0 + t \cdot u_y, \\ z = z_0 + t \cdot u_z, \end{cases}

où $(x_0, y_0, z_0)$ est un point de $D$ et $(u_x, u_y, u_z)$ est un vecteur directeur.

Équation cartésienne

La droite peut être définie par deux plans :

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0, \\ a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0. \end{cases}

5. Plans dans l’espace

Équation cartésienne d’un plan

Un plan $P$ est défini par :

ax + by + cz + d = 0,

où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan.

Distance d’un point à un plan

La distance du point $M(x_1, y_1, z_1)$ au plan $P : ax + by + cz + d = 0$ est donnée par :

d(M, P) = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

6. Relations géométriques

Alignement de points

Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires :

\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{0}.

Coplanarité de vecteurs

Les vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ sont coplanaires si :

\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0.

Distances et angles

Distance entre deux points $A(x_1, y_1, z_1)$ et $B(x_2, y_2, z_2)$ : $d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$
Angle entre une droite et un plan : $\sin(\theta) = \frac{\|\vec{u} \cdot \vec{n}\|}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{n}\|}.$

7. Applications

Calculer la distance entre un point et un plan.
Vérifier si trois points sont alignés.
Trouver l’intersection d’une droite et d’un plan.

8. Exercices d’entraînement

Écrire l’équation paramétrique de la droite passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur directeur $(2, -1, 1)$ .
Trouver l’intersection de la droite : $\begin{cases} x = 1 + t, \\ y = 2 - t, \\ z = 3 + 2t, \end{cases}$ avec le plan $x + y + z - 6 = 0$ .
Calculer la distance entre le point $M(2, -1, 3)$ et le plan $2x - y + 3z + 4 = 0$ .

Ressources

Pour approfondir, consultez vos manuels scolaires ou des sites éducatifs comme Taalim.ma. 😊