La Dérivation

 

Résumé : La Dérivation

La dérivation est un outil fondamental en mathématiques, utilisé pour étudier les variations des fonctions. Elle permet de calculer la pente de la tangente à une courbe en un point donné et de déterminer les variations d’une fonction (croissance, décroissance).

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1. Définition de la dérivée

Dérivée en un point

Soit une fonction $f(x)$ définie sur un intervalle. La dérivée de $f(x)$ en un point $a$ est le nombre :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h},$$

si cette limite existe.

Interprétation géométrique

La dérivée $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe $y = f(x)$ au point $x = a$.

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2. Fonction dérivée

La fonction dérivée de $f(x)$, notée $f'(x)$ ou $\frac{df}{dx}$, est définie par :

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$

Elle donne la pente de la tangente en tout point $x$ où elle est définie.

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3. Règles de dérivation

1. Dérivée d'une constante :

   $$(c)' = 0, \quad \text{où \(c\) est une constante}.$$

2. Dérivée de $x^n$ :

   $$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}, \quad \text{où \(n\) est un entier ou un réel}.$$

3. Dérivée de la somme :

   $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).$$

4. Dérivée du produit :

   $$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

5. Dérivée du quotient :

   $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}, \quad \text{si \(g(x) \neq 0\)}.$$

6. Dérivée de la composition ($f \circ g$) :

   $$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$

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4. Dérivées des fonctions usuelles

1. $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, où $n \in \mathbb{R}$.
2. $(e^x)' = e^x$.
3. $(\ln(x))' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$.
4. $(\sin(x))' = \cos(x)$.
5. $(\cos(x))' = -\sin(x)$.
6. $(\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}$.

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5. Applications de la dérivation

1. Étude des variations d’une fonction :

   • Si $f'(x) > 0$, alors $f(x)$ est croissante sur l’intervalle.
   • Si $f'(x) < 0$, alors $f(x)$ est décroissante sur l’intervalle.

2. Calcul des extrema locaux :

   • Un point $x = c$ est un extremum (maximum ou minimum) si $f'(c) = 0$ et si $f'(x)$ change de signe autour de $c$.

3. Tangente à une courbe :
   L’équation de la tangente à la courbe $y = f(x)$ au point $A(a, f(a))$ est donnée par :

   $$y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a).$$

4. Résolution de problèmes physiques :

   • Vitesse instantanée : dérivée de la position par rapport au temps.
   • Accélération : dérivée de la vitesse.

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6. Exemples

Exemple 1 : Dérivée d’un polynôme

Soit $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

$$f'(x) = 6x - 5.$$

Exemple 2 : Tangente à une courbe

Soit $f(x) = x^2 + 1$. Trouver l’équation de la tangente au point $A(1, 2)$.

• $f'(x) = 2x$.
• $f'(1) = 2$.
• Tangente : $y - 2 = 2(x - 1) \implies y = 2x$.

Exemple 3 : Étude des variations

Étudiez les variations de $f(x) = x^3 - 3x$.

• $f'(x) = 3x^2 - 3$.
• $f'(x) = 0 \implies x = -1 \text{ ou } x = 1$.
• Tableau de variations : $$\begin{array}{c|c|c|c} x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\ f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow \\ \end{array}$$

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7. Exercices d’application

Exercice 1

Calculez la dérivée de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.

Exercice 2

Étudiez les variations de $f(x) = x^4 - 4x^2$.

Exercice 3

Trouvez l’équation de la tangente à la courbe $y = e^x + x^2$ au point $x = 0$.

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Ressources supplémentaires

Pour des explications détaillées ou des exercices corrigés, consultez vos manuels scolaires ou des plateformes éducatives comme Taalim.ma. 😊

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