La rotation dans le plan 1ère Bac Sciences Expérimentales.

personselena

يناير 22, 2025

Résumé : La rotation dans le plan

La rotation dans le plan est une transformation géométrique qui fait tourner une figure autour d’un point fixe appelé centre de rotation, d’un certain angle orienté. Elle est utilisée pour étudier les symétries, les invariances, et les transformations géométriques. Voici une présentation adaptée au niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales.

1. Définition de la rotation

Rotation d’angle orienté $\theta$ et de centre $O$

Centre de rotation : $O$ , point fixe autour duquel la rotation a lieu.
Angle de rotation : $\theta$ , mesuré dans le sens positif (sens anti-horaire) ou négatif (sens horaire).
Une rotation conserve les distances et les angles, donc c'est une isométrie.

Pour tout point $M$ , son image $M'$ par une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ vérifie :

OM = OM' \quad \text{et} \quad (\vec{OM}, \vec{OM'}) = \theta.

2. Propriétés de la rotation

Conservation des distances :
Si $M'$ est l’image de $M$ , alors $OM = OM'$ .
Conservation des angles :
Les angles entre les vecteurs ou les droites sont conservés après une rotation.
Rotation d’un point confondu avec le centre :
Si $M = O$ , alors $M' = O$ .
Orientation :
La rotation respecte l’ordre des points dans le sens anti-horaire si $\theta > 0$ , et dans le sens horaire si $\theta < 0$ .

3. Coordonnées après une rotation

Rotation de centre $O(0, 0)$ et d’angle $\theta$

Soit un point $M(x, y)$ dans un repère orthonormé. L’image $M'(x', y')$ de $M$ après une rotation d’angle $\theta$ autour de $O(0, 0)$ est donnée par :

\begin{aligned} x' &= x \cos \theta - y \sin \theta, \\ y' &= x \sin \theta + y \cos \theta. \end{aligned}

Cas particuliers :

Rotation d’angle $90^\circ$ ( $\frac{\pi}{2}$ ) : $x' = -y, \quad y' = x.$
Rotation d’angle $180^\circ$ ( $\pi$ ) : $x' = -x, \quad y' = -y.$
Rotation d’angle $-90^\circ$ ( $-\frac{\pi}{2}$ ) : $x' = y, \quad y' = -x.$

4. Invariance et symétrie

Invariance des figures :
Les figures géométriques régulières, comme les cercles, sont invariantes par rotation.
Symétrie centrale :
Une rotation d’angle $180^\circ$ autour d’un point $O$ est équivalente à une symétrie centrale de centre $O$ .

5. Applications pratiques

a. Rotation de points dans un repère

Soit un point $M(3, 4)$ . Trouvons son image $M'$ après une rotation d’angle $90^\circ$ autour de $O(0, 0)$ :

x' = -y = -4, \quad y' = x = 3 \implies M'(-4, 3).

b. Propriétés des polygones réguliers

Dans un polygone régulier à $n$ côtés, une rotation d’angle $\frac{360^\circ}{n}$ autour de son centre laisse le polygone invariant.

c. Calcul des angles entre vecteurs

La rotation est utilisée pour déterminer les relations d’angle entre deux vecteurs ou droites.

6. Exercices d’application

Exercice 1 :

Soit $M(1, 2)$ . Trouvez l’image $M'$ de $M$ après une rotation d’angle $180^\circ$ autour de $O(0, 0)$ .

Exercice 2 :

Un triangle $ABC$ a les coordonnées suivantes : $A(1, 1)$ , $B(3, 1)$ , $C(2, 4)$ . Trouvez les coordonnées des points $A'$ , $B'$ , et $C'$ après une rotation d’angle $90^\circ$ autour de $O(0, 0)$ .

Exercice 3 :

Prouvez qu’un carré reste invariant par une rotation d’angle $90^\circ$ autour de son centre.

Ressources supplémentaires

Pour approfondir, consultez vos manuels scolaires ou des plateformes éducatives comme Taalim.ma. Si besoin, je peux aussi fournir des solutions détaillées aux exercices. 😊