le barycentre dans le plan

personselena

يناير 22, 2025

Voici un résumé complet sur le barycentre dans le plan, adapté au niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales :

1. Définition du barycentre

Le barycentre est un point dans le plan associé à un système de points pondérés. Il peut être vu comme le centre de gravité d'un système où les points ont des "poids".

Système pondéré

Un système pondéré est un ensemble de points $A_1, A_2, \dots, A_n$ associés à des réels $m_1, m_2, \dots, m_n$ appelés coefficients ou masses.

Les masses peuvent être positives ou négatives.

2. Barycentre de deux points

Pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ associés respectivement à des masses $m_1$ et $m_2$ , le barycentre $G(x_G, y_G)$ est donné par :

x_G = \frac{m_1x_A + m_2x_B}{m_1 + m_2}, \quad y_G = \frac{m_1y_A + m_2y_B}{m_1 + m_2}.

Cas particulier : masses égales ( $m_1 = m_2$ )

Le barycentre correspond au milieu du segment $[AB]$ .

x_G = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B}{2}.

3. Barycentre de plusieurs points

Pour un système de $n$ points $A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), \dots, A_n(x_n, y_n)$ associés à des masses $m_1, m_2, \dots, m_n$ , le barycentre $G(x_G, y_G)$ est défini par :

x_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i}, \quad y_G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i y_i}{\sum_{i=1}^n m_i}.

Condition d'existence

Le barycentre existe si $\sum_{i=1}^n m_i \neq 0$ .

4. Propriétés du barycentre

Linéarité :
Si $G_1$ est le barycentre de $(A_1, m_1)$ et $(A_2, m_2)$ , et $G_2$ celui de $(G_1, m_1 + m_2)$ et $(A_3, m_3)$ , alors $G_2$ est aussi le barycentre de $(A_1, m_1)$ , $(A_2, m_2)$ , et $(A_3, m_3)$ .
Stabilité :
Le barycentre reste invariant sous changement de référentiel.
Centre de masse :
Si toutes les masses sont égales, le barycentre correspond au centre géométrique des points.

5. Applications pratiques

Médianes d’un triangle :
Le barycentre d’un triangle est l’intersection des trois médianes, et il divise chaque médiane dans un rapport $2:1$ .
Systèmes physiques :
Le barycentre est utilisé pour trouver le centre de gravité d’un objet ou d’un système.

6. Exemple d’application

Exemple 1 : Barycentre de deux points

Soit $A(2, 3)$ avec $m_1 = 4$ et $B(6, -1)$ avec $m_2 = 2$ . Trouvons $G(x_G, y_G)$ :

x_G = \frac{4 \cdot 2 + 2 \cdot 6}{4 + 2} = \frac{8 + 12}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

y_G = \frac{4 \cdot 3 + 2 \cdot (-1)}{4 + 2} = \frac{12 - 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.

Donc, $G\left(\frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right)$ .

Exemple 2 : Barycentre de trois points

Soit $A(1, 2)$ , $B(3, 0)$ , $C(5, -2)$ avec $m_1 = 1$ , $m_2 = 2$ , $m_3 = 1$ .

x_G = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 5}{1 + 2 + 1} = \frac{1 + 6 + 5}{4} = 3.

y_G = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-2)}{1 + 2 + 1} = \frac{2 + 0 - 2}{4} = 0.

Donc, $G(3, 0)$ .

7. Exercices d’application

Exercice 1 :

Calculez le barycentre des points suivants :

$A(2, 5)$ avec $m_1 = 3$ et $B(8, -1)$ avec $m_2 = 5$ .

Exercice 2 :

Les points $A(1, 1)$ , $B(4, -2)$ , et $C(7, 5)$ sont associés aux masses $2, 3,$ et $1$ . Trouvez le barycentre $G(x_G, y_G)$ .

Exercice 3 :

Dans un triangle $ABC$ , les coordonnées des sommets sont $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ , et $C(3, 6)$ . Trouvez les coordonnées du barycentre du triangle.

Ressources supplémentaires

Pour approfondir, consultez les manuels scolaires ou des plateformes éducatives comme Taalim.ma. Je peux également fournir les solutions détaillées des exercices si besoin ! 😊