Les limites d’une fonction 1ère Bac Sciences Expérimentales.

 

Résumé : Les limites d’une fonction

La notion de limite est fondamentale en analyse. Elle permet de décrire le comportement d'une fonction lorsque la variable approche une valeur donnée (un nombre fini ou l’infini). Voici un résumé adapté au niveau 1ère Bac Sciences Expérimentales.

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1. Définition intuitive de la limite

Limite finie en un point $a$

Soit une fonction $f(x)$. On dit que $f(x)$ a pour limite $L$ lorsque $x$ tend vers $a$ (noté $\lim_{x \to a} f(x) = L$) si, en se rapprochant de $a$, les valeurs de $f(x)$ deviennent aussi proches que l’on veut de $L$.

Limite infinie en un point $a$

Si $f(x)$ devient arbitrairement grand ($+\infty$) ou petit ($-\infty$) lorsque $x$ s’approche de $a$, on dit que $f(x)$ tend vers l’infini (ou $-\infty$) :

$$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty.$$

Limite à l'infini

Lorsque $x$ devient très grand ($x \to +\infty$) ou très petit ($x \to -\infty$), on étudie le comportement de $f(x)$ :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x).$$

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2. Notations des limites

1. Limite finie :

   $$\lim_{x \to a} f(x) = L.$$

2. Limite infinie :

   $$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty.$$

3. Limite à l’infini :

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$

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3. Règles de calcul des limites

a. Limites des fonctions de base

1. $\lim_{x \to \pm \infty} c = c$, où $c$ est une constante.
2. $\lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty$.
3. $\lim_{x \to \pm \infty} x^n = \pm \infty$, pour $n > 0$.
4. $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$.

b. Opérations sur les limites

1. Somme :

   $$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x).$$

2. Produit :

   $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x).$$

3. Quotient :

   $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}, \quad \text{si} \ \lim_{x \to a} g(x) \neq 0.$$

c. Croissances comparées

1. $x^n$ croît plus vite que $\ln(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
2. $e^x$ croît plus vite que tout polynôme $x^n$ lorsque $x \to +\infty$.
3. $\frac{1}{x^n} \to 0$ lorsque $x \to +\infty$.

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4. Cas particuliers et formes indéterminées

Certaines limites nécessitent des transformations pour être calculées :

1. $\frac{0}{0}$ : Forme indéterminée, nécessite une factorisation ou un développement limité.
2. $\frac{\infty}{\infty}$ : Simplifiez l’expression en divisant par le terme dominant.
3. $0 \cdot \infty$ : Réécrivez sous forme de quotient.

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5. Exemples pratiques

Exemple 1 : Limite finie en un point

Calculez $\lim_{x \to 2} (x^2 - 4)$.

$$\lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0.$$

Exemple 2 : Limite infinie

Calculez $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - x)$.

$$\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - x) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty.$$

Exemple 3 : Croissance comparée

Calculez $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$.

$$\frac{x^2}{e^x} \to 0 \quad \text{car} \ e^x \ \text{croît plus vite que} \ x^2.$$

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6. Exercices d'application

Exercice 1

Calculez $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 3}{x - 2}$.

Exercice 2

Déterminez $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Trouvez la limite de $f(x)$ lorsque $x \to -\infty$.

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Ressources supplémentaires

Pour approfondir, explorez vos manuels scolaires ou des plateformes éducatives comme Taalim.ma. Besoin d'une solution détaillée pour un exercice ? Demandez-moi ! 😊

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