Les suites numériques

 Voici un résumé des notions sur les suites numériques adapté au programme de 1ère Bac Sciences Expérimentales :

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1. Définition d’une suite numérique

Une suite numérique est une fonction qui associe à tout entier naturel $n$ (ou à un sous-ensemble des entiers naturels) un nombre réel $u_n$.

• Notation : $(u_n)$, où $u_n$ représente le terme de rang $n$.
• $n$ est l'indice et $u_n$ est le terme général.

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2. Modes de définition d’une suite

1. Définition explicite :

   • Le terme général est donné par une formule en fonction de $n$.
   • Exemple : $u_n = 2n + 1$.

2. Définition par récurrence :

   • On donne un terme initial $u_0$ (ou $u_1$) et une relation qui relie $u_{n+1}$ à $u_n$.
   • Exemple :
     • $u_0 = 1$.
     • $u_{n+1} = u_n + 3$.

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3. Types de suites

1. Suite arithmétique :

   • Définition : Une suite $(u_n)$ est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
   • Formule : $u_{n+1} = u_n + r$ ou $u_n = u_0 + nr$.
   • $r$ : raison de la suite.

2. Suite géométrique :

   • Définition : Une suite $(u_n)$ est géométrique si le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
   • Formule : $u_{n+1} = u_n \cdot q$ ou $u_n = u_0 \cdot q^n$.
   • $q$ : raison de la suite.

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4. Monotonie des suites

1. Suite croissante : $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. Suite décroissante : $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. Suite constante : $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

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5. Convergence d’une suite

Une suite $(u_n)$ converge vers un nombre réel $l$ (appelé limite) si :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = l.$$

• Si la suite n’a pas de limite, on dit qu’elle diverge.

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6. Étude graphique d’une suite

Pour représenter une suite :

1. Calculer les premiers termes $(u_0, u_1, u_2, \ldots)$.
2. Représenter ces termes sous forme de points $(n, u_n)$ dans un repère.

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7. Exemples de calcul

Exemple 1 : Suite arithmétique

Soit $u_0 = 2$ et $r = 3$.

• $u_n = u_0 + nr = 2 + 3n$.
• Premiers termes : $u_0 = 2$, $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$.

Exemple 2 : Suite géométrique

Soit $u_0 = 4$ et $q = 2$.

• $u_n = u_0 \cdot q^n = 4 \cdot 2^n$.
• Premiers termes : $u_0 = 4$, $u_1 = 8$, $u_2 = 16$, $u_3 = 32$.

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8. Exercices d'application

Exercice 1 :

Déterminez les 5 premiers termes de la suite définie par $u_n = 3n - 2$.

Exercice 2 :

Soit une suite définie par récurrence :

• $u_0 = 1$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$.
  • Calculez $u_1, u_2, u_3$.

Exercice 3 :

Montrez que la suite $u_n = \frac{1}{n+1}$ est décroissante et converge vers 0.

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Ressources supplémentaires

Pour approfondir, utilisez des manuels scolaires dédiés au programme marocain ou des sites pédagogiques comme Taalim.ma. Je peux également fournir des solutions détaillées si besoin ! 😊

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