Nombres complexes (Partie 1)

 

Nombres complexes (Partie 1)

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ملخص الدرس :

1. Définition des nombres complexes :

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels. Un nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme :

$$z = a + ib$$

où :

• $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
• $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
• $i$ est l'unité imaginaire, telle que $i^2 = -1$.

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2. Représentation géométrique :

Un nombre complexe $z = a + ib$ peut être représenté comme un point ou un vecteur dans le plan complexe (plan d'Argand) :

• L'axe des abscisses représente la partie réelle.
• L'axe des ordonnées représente la partie imaginaire.

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3. Opérations sur les nombres complexes :

• Addition : $$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$$
• Soustraction : $$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + i(b_1 - b_2)$$
• Multiplication : $$z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1)$$
• Conjugué d'un complexe :
  Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$.

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4. Module d’un nombre complexe :

Le module de $z = a + ib$ est donné par :

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Le module correspond à la distance entre $z$ et l'origine dans le plan complexe.

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5. Propriétés importantes :

• $z \cdot \overline{z} = |z|^2$
• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Inégalité triangulaire).

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تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :
Soient $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

• Calculez $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$.
• Trouvez $z_1 \cdot z_2$.
• Déterminez le module de $z_1$ et $z_2$.

تمرين 2 :
Représentez les nombres complexes suivants dans le plan complexe :

• $z = 4 + 3i$
• $w = -2 + i$
• $t = 1 - 2i$

تمرين 3 :
Soit $z = 5 + 12i$.

• Trouvez le conjugué de $z$.
• Calculez $z \cdot \overline{z}$.

تمرين 4 :
Vérifiez que $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ pour $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = 3 - 4i$.

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نصائح للدراسة :

• استعمل الرسوم البيانية لفهم التمثيل الهندسي للأعداد العقدية.
• قم بتلخيص القوانين الرئيسية وراجعها قبل حل التمارين.
• تدرب على العمليات المختلفة لتحسين مهاراتك في التعامل مع الأعداد العقدية.

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