Nombres complexes (Partie 2)

 

Nombres complexes (Partie 2)

---

ملخص الدرس :

1. Forme exponentielle لعدد مركب :

أي عدد مركب $z = a + ib$ يمكن كتابته بالصيغة :

$$z = r \cdot e^{i\theta}$$

حيث :

• $r = |z|$ هو معيار العدد المركب.
• $\theta$ هو الزاوية التي يصنعها $z$ مع المحور الحقيقي (الجزء الحقيقي).
• $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (صيغة أويلر).

---

2. ضرب وقسمة الأعداد المركبة في الصيغة الأسية :

• الضرب :
  عند ضرب عددين مركبين $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ و$z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$، نحصل على :

$$z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

• القسمة :
  عند قسمة $z_1$ على $z_2$ :

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$

---

3. الجذور النونية لعدد مركب :

• لحساب الجذور النونية ($n$-ième) لعدد مركب $z = r e^{i\theta}$، نستخدم :

$$z_k = r^{1/n} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$$

حيث $k \in \{ 0, 1, 2, ..., n-1 \}$.

• يوجد دائمًا $n$ جذور نونية لعدد مركب، وتوزع هذه الجذور بالتساوي على دائرة ذات نصف قطر $r^{1/n}$.

---

4. القوة النونية لعدد مركب :

لحساب القوة $n$-ième لعدد مركب $z = r e^{i\theta}$ :

$$z^n = r^n \cdot e^{i n \theta}$$

---

5. التحويل إلى الصيغة المثلثية :

إذا كان العدد المركب $z = a + ib$، يمكن إيجاد الصيغة المثلثية باستخدام :

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $\theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

---

تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :
اكتب العدد المركب $z = -1 + i\sqrt{3}$ على الشكل الأسّي.

تمرين 2 :
احسب ناتج ضرب العددين المركبين $z_1 = 2e^{i\pi/3}$ و$z_2 = 3e^{i\pi/4}$.

تمرين 3 :
أوجد الجذور الأربعة للعدد المركب $z = 16e^{i\pi/2}$.

تمرين 4 :
أوجد الصيغة المثلثية للعدد المركب $z = 3 - 3i$، ثم احسب $z^3$.

تمرين 5 :
أوجد النتيجة النهائية للعدد :

$$\frac{z_1}{z_2} \quad \text{حيث} \quad z_1 = 5e^{i\pi/4} \quad \text{و} \quad z_2 = 2e^{i\pi/6}.$$

---

نصائح للدراسة :

• استوعب العلاقة بين الصيغ المختلفة للعدد المركب (ديكارتية، مثلثية، أسية).
• تدرب على تطبيق الصيغ الخاصة بالضرب والقسمة.
• افهم جيدًا كيفية حساب الجذور النونية باستخدام الصيغة الأسية.

---

تحميل الملفات :

Cours	Resumes	Exercices	Controles	Videos
Cours 1	Resume 1	Exercice 1
Cours 2	Resume 2
	Resume 3
	Resume 4
	Resume 5
	Resume 6
	Resume 7
	Resume 8

---

الأعداد المركبة ليست مجرد أداة رياضية، بل هي أساس العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة. استثمر الوقت لفهمها بعمق!